| □ H12年12月期 A-01 Code:[HA0307] : 3個以上のコンデンサの合成容量・最大耐電圧・未知の静電容量等の計算 |
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合成容量を求めろ、というなら簡単ですが、各コンデンサの端子電圧から容量の関係を求めるとなると、ちょっと面倒ですね。でも、一つ一つ潰して行けば、さほど難しくない問題であることが分かります。 （問題ではコンデンサＣa, Ｃb, Ｃcの容量がそれぞれ、Ｃ1, Ｃ2, Ｃ3だといっていますが、この解説では、Ｃ1〜Ｃ3と書けば、コンデンサの名称と容量の両方を指すものとします。） ［１］複数あるものはまとめてシンプルにする | |
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コンデンサが３つもあると面倒なので、比較的簡単に合成できるＣ2とＣ3をまとめてFig.HA0307_bのように一つのコンデンサＣ23としてしまいます。並列接続ですから、容量は加算する（Ｃ23＝Ｃ2＋Ｃ3）だけです。こうすることで、直列の２つのコンデンサの問題に置き換わりました。 次に、これら２つコンデンサの両端にかかる電圧を考えます。そのためには、直列に接続されるコンデンサでは、各々のコンデンサに蓄えられる電荷がどうなっているか、を考えます。 |
 Fig.HA0307_b 容量を合成し単純化 |
［２］直列接続のコンデンサの各電極に蓄えられる電荷は等しいこの「証明」は簡単で、例えば、Fig.HA0307_bで、Ｃ1の電源側の電極に＋Ｑの電荷が溜まったとすると、その対向する電極には−Ｑが溜まります。またＣ23の図の上側の電極には、＋Ｑが溜まります。このノードは他にどこにも繋がっていないので、電子が勝手に消えたり湧いて出たりしない限り、一方に＋Ｑがあれば他方には−Ｑがあって、合計がゼロになるはずだからです。また、Ｃ23の電源側の電極には−Ｑが溜まります。問題により、Ｃ1とＣ23それぞれの両端にかかる電圧が与えられていて、（上記から）そこに溜まる電荷量も分かっていることになるので、容量が計算できるはず、という算段になります。 それでは、解答に移ります。 問題が、Ｃ1の両端の電圧がＥ/5だと言っているので、Ｃ1に溜まる電荷量Ｑは、 Ｑ＝(Ｅ/5)Ｃ1 …(a) です。Ｃ2とＣ3（Ｃ23）には、残りの電圧(4Ｅ/5)がかかっているはずですから、 Ｑ＝(4Ｅ/5)Ｃ23 …(b) ここで、Fig.HA0307_bでｐ＝1,ｑ＝4,ｒ＝5です。(a)＝(b)と置いてＱを消去すれば、 (Ｅ/5)Ｃ1＝(4Ｅ/5)Ｃ23 …(c) また、 Ｃ23＝Ｃ2＋Ｃ3…(d) ですから、(d)を(c)に代入すれば、 (Ｅ/5)Ｃ1＝(4Ｅ/5)(Ｃ2＋Ｃ3) …(e) となります。(e)を整理して、 Ｃ1＝4Ｃ2＋4Ｃ3 となるので、正解は４と分かります。 なお、この問題では、容量の絶対値は分かりません。Ｃ1＝8 [μF], Ｃ2＝Ｃ3＝1 [μF]でも成り立ちますし、Ｃ1＝16 [pF], Ｃ2＝Ｃ3＝2 [pF]でも成り立ちます。Ｃ1, Ｃ2, Ｃ3はそれぞれ比率しか分からないのです。 | |
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