□ H14年04月期 A-02  Code:[HA0307] : 3個以上のコンデンサの合成容量・最大耐電圧・未知の静電容量等の計算
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2022年
12/31 12月期問題頁掲載
09/01 08月期問題頁掲載
05/14 04月期問題頁掲載
H1404A02 Counter
無線工学 > 1アマ > H14年04月期 > A-02
A-02 図に示す回路において、C1、C2及びC3はそれぞれコンデンサの静電容量を示しており、C1のコンデンサの端子間の電圧が電源電圧Eの1/5であるとき、C1、C2及びC3の関係を表す式として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、電源電圧を加える前に各コンデンサには電荷が蓄えられていなかったものとする。
1=C2/5+C3/5
1=C2/4+C3/4
1=4C2+4C3
1=5C2+5C3
1=6C2+6C3
問題図 H1404A02a
Fig.H1404A02a

 合成容量を求めろ、というなら簡単ですが、各コンデンサの端子電圧から容量の関係を求めるとなると、ちょっと面倒ですね。でも、一つ一つ潰して行けば、さほど難しくない問題であることが分かります。

[1]複数あるものはまとめてシンプルにする

 コンデンサが3つもあると面倒なので、比較的簡単に合成できるC2とC3をまとめてFig.HA0307_bのように一つのコンデンサC23としてしまいます。並列接続ですから、容量は加算する(C23=C2+C3)だけです。こうすることで、直列の2つのコンデンサの問題に置き換わりました。
 次に、これら2つコンデンサの両端にかかる電圧を考えます。そのためには、直列に接続されるコンデンサでは、各々のコンデンサに蓄えられる電荷がどうなっているか、を考えます。
Fig.HA0307_b 容量を合成し単純化
Fig.HA0307_b
容量を合成し単純化

[2]直列接続のコンデンサの各電極に蓄えられる電荷は等しい

 この「証明」は簡単で、例えば、Fig.HA0307_bで、C1の電源側の電極に+Qの電荷が溜まったとすると、その対向する電極には−Qが溜まります。またC23の図の上側の電極には、+Qが溜まります。このノードは他にどこにも繋がっていないので、電子が勝手に消えたり湧いて出たりしない限り、一方に+Qがあれば他方には−Qがあって、合計がゼロになるはずだからです。また、C23の電源側の電極には−Qが溜まります。
 問題により、C1とC23それぞれの両端にかかる電圧が与えられていて、(上記から)そこに溜まる電荷量も分かっていることになるので、容量が計算できるはず、という算段になります。
それでは、解答に移ります。
 問題が、C1の両端の電圧がE/5だと言っているので、C1に溜まる電荷量Qは、
 Q=(E/5)C1 …(a)
です。C2とC3(C23)には、残りの電圧(4E/5)がかかっているはずですから、
 Q=(4E/5)C23 …(b)
ここで、Fig.HA0307_bでp=1,q=4,r=5です。(a)=(b)と置いてQを消去すれば、
 (E/5)C1=(4E/5)C23 …(c)
また、
 C23=C2+C3…(d)
ですから、(d)を(c)に代入すれば、
 (E/5)C1=(4E/5)(C2+C3) …(e)
となります。(e)を整理して、
 C1=4C2+4C3
となるので、正解はと分かります。
 なお、この問題では、容量の絶対値は分かりません。C1=8 [μF], C2=C3=1 [μF]でも成り立ちますし、C1=16 [pF], C2=C3=2 [pF]でも成り立ちます。C1, C2, C3はそれぞれ比率しか分からないのです。