□ H14年08月期 A-05  Code:[HB0303] : 交流電源と抵抗2本+リアクタンス1個からなる回路網の計算
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2018年
12/09 12月期問題頁掲載
08/16 08月期問題頁掲載
08/03 04月期問題頁掲載
H1408A05 Counter
無線工学 > 1アマ > H14年08月期 > A-05
A-05 図に示す回路において、交流電源電圧が130 [V]、抵抗R1が20 [Ω]、抵抗R2 が10 [Ω]及びコイルLのリアクタンスが10 [Ω]であるとき、R2を流れる電流Iの値として、正しいものを下の番号から選べ。
2-j3 [A]
2+j3 [A]
3-j2 [A]
3+j2 [A]
4+j2 [A]
問題図 H1408A05a
Fig.H1408A05a

 容量性(コンデンサ)、誘導性(コイル)、抵抗の3つのインピーダンスが直列、並列に組み合わされた回路の合成インピーダンスの問題で、よく出題されます。インピーダンス計算の基本だからでしょう。

[1]複素数計算にチャレンジしてみよう

 2アマまでは実数の世界で何とか解いていましたが、1アマになったら複素数(=実数+虚数 の形の数)計算にチャレンジしてみて下さい。というのも、こういった直列や並列の回路の合成インピーダンスを求める時、複素数でインピーダンスを計算すると、オームの法則だけで解けてしまうからです。2アマの時のようなベクトル計算や直角三角形の1辺の長さを求める公式も(全然無縁なわけではありませんが)使いません。
 ただ、少しだけ面倒なのは、分数で答えが出た時に分母が複素数になってしまった時、実数部と虚数部を明確に分けるため、「通分」のような「正規化」という作業が必要になることです。でも、慣れてしまえば大して難しくはありません。
 この問題では回路の要素(抵抗・コンデンサ・コイル)は3つですが、上に書いたことは、要素がいくつでも使えます。2個や4個になっても、合成抵抗の計算と同じようにやって行けば良いのです。流れる電流も、遅れ位相なのか、進み位相なのか、電流の虚数部を電圧と比較すればすぐに分かります。こんな便利な複素数を使わない手はありません。

[2]複素数を使って解いてみる

 では、具体的に見て行きましょう。回路の要素が直並列、並直列に3つ繋がるパターンはFig.HB0303_aの2種類です。
Fig.HB0303_a 3つのインピーダンスの接続
Fig.HB0303_a
3つのインピーダンスの接続
 3つとも直列、3つとも並列のパターンもありますが、これは別途問題があるので、そこで解いています。
 この図で、Z1〜Z3どれが抵抗・コンデンサ・コイルであるかの組合せは全く任意です。どんな組合せでも合成インピーダンスZは各図の下にある式で表されます。合成抵抗を計算する式と全く同じです。
 Z1〜Z3に、抵抗なら抵抗値R [Ω]を、コイルなら誘導性インピーダンスjXLを、コンデンサなら容量性インピーダンス−jXCを代入します。
 例えば、Fig.HB0301_aの左の回路で、Z1=−jXC、Z2=jXL、Z3=Rだとしましょう。この回路の左半分のインピーダンス、つまり、Z12/(Z1+Z2)を計算すると、
 Z12/(Z1+Z2)=XCL/j(XL−XC) …(1)
この式で、分母にjがあるのは気持ちが悪いので、これを分子に移し(分母と分子に−jを掛ける)、
 Z12/(Z1+Z2)=jXCL/(XC−XL) …(2)
となります。Z3=Rなので、全体のインピーダンスZ [Ω]は、
 Z=R+jXCL/(XC−XL) …(3)
 あとはこれに問題の数値を代入し、複素数の計算をガチャガチャとやるだけです。複素数の計算練習はここではやりませんので、慣れていない方は、同様の問題をいろいろ解いてみて下さい。

それでは、解答に移ります。
 問題はFig.HB0303_aの左のパターンです。問題中の以下の値を代入します。問題文は容量性と誘導性のインピーダンスに虚数単位jと符号が付いていませんのでご注意下さい。
 Z1=10 [Ω]  Z2=j10 [Ω]  Z3=20 [Ω]
と置きます。はじめに、第1項は、分子と分母に分けて計算します。
 分子=Z12
   =10×j10=j100 …(a)
 分母=Z1+Z2
   =10+j10=10(1+j) …(b)
第1項(Z1とZ2の合成インピーダンスZ12)=(a)/(b)だから、
 Z12=100j/{10(1+j)}=10j(1−j)=5(1+j) …(c)
第2項=Z3=20より、
 Z=Z12+Z3=5(1+j)+20=25+5j [Ω] …(d)
となります。Zが分かったので、Z1及びZ2の両端にかかる電圧E12を計算をします。
 E12=E(Z12/Z)
   =130×{5(1+j)}/{5(5+j)}=10(3+j2) [V] …(e)
1に流れる電流I1は、
 I1=E12/Z1=10(3+j2)/10=3+j2 [A] …(f)
となりますから、正解はと分かります。

 虚数の計算(四則演算)は2乗して-1になったり、正規化したりと、慣れないと間違いやすいですが、これは子供の九九と同じなので、練習あるのみです。それさえできれば、後はオームの法則なので、さほど難しくありません。
 余談ですが、この電流は、虚数部の符号が正なので、電圧に対して遅れていることが分かります。また、電流の「絶対値」は、√(32+22)=√13 [A]と求められます。