□ H14年08月期 A-10  Code:[HD0605] : NOT AND OR等の組合せ回路と真理値表の対応
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2018年
12/09 12月期問題頁掲載
08/16 08月期問題頁掲載
08/03 04月期問題頁掲載
H1408A10 Counter
無線工学 > 1アマ > H14年08月期 > A-10
A-10 図に示す論理回路の真理値表として、正しいものを下の番号から選べ。
問題図 H1408A10a
Fig.H1408A10a
問題図 H1408A10b
Fig.H1408A10b

 少し複雑な論理回路で、これを頭の中で計算しようと思っても、途中どこかで間違えてしまいがちですから、地味な解き方ですが、真理値表を作るのが確実でしょう。慣れてきたら、論理式で解くこともできます。ここでは、両方で試してみました。

[1]各ノードについて、真理値表で解析してみよう

 まず、問題の回路図の各ノードについて名前を付けます。ここでは、上側のNOTの出力をP、下側のNOTの出力をQ、上側のANDの出力をR、下側のANDの出力をSと付けました。
Fig.HD0605_b 問題の回路と真理値表
Fig.HD0605_b 問題の回路と真理値表
 これらについて、入力の4通りの組合せとP〜S、Mの論理を合わせた表が、Fig.HD0605_bの右になります。時間はかかりますが、一つ一つ丹念に埋めてゆけば、間違いなく正解にたどり着けます。

[2]論理式で解いてみよう

 論理式で解く前に、お断りをしておきますが、not(A)は普通、Aの文字の上に線(バー)を引きますが、HTMLで表記できないので、/A(スラッシュA)と書きます。
 論理式はいろいろ法則があって、難しい印象を受けた方もおられるでしょうが、結合則や分配則といった、普通に我々が使っている数式と同じものもあります。論理式特有なもので、アマチュアレベルで出題される難しいものはほとんどありません。以下、そんなポイントをまとめてみました。
 A+B   論理和…ORのこと。AまたはBが真の時、真となる。
 A*B   論理積…ANDのこと。AもBも真の時、真となる。
 /A     否定……NOTのこと。Aが真なら偽、偽なら真。
上記の基本に加えて、下記のような数式を扱う上での法則があります。普通の数値の計算と同じく、乗算が優先で、カッコがあればさらにそれが優先です。
 A+B=B+A …(i) (和の)交換則
 A*B=B*A …(ii) (積の)交換則
 A*(B+C)=A*B+A*C …(iii) 分配則
 A*B+A*C=A*(B+C) …(iv) 結合則
この他に、論理式特有の法則として、下記を挙げておきます。
 /(A+B)=/A*/B …(v)
 /(A*B)=/A+/B …(vi)
 A+A*B=A …(vii)
 A+/A*B=A+B …(viii)
 1*A=A  0*A=0  1+A=1  0+A=A
 A*A=A  A*(/A)=0  A+A=A  A+(/A)=1 …(ix)
(v),(vi)はANDまたはOR全体にNOTを付けるとANDとORが入れ替わって、各入力のNOTになってしまう、という不思議な法則です。ド・モルガンの法則と呼ばれます。説明はしませんが、真理値表を書いてみると、確かにそうなっているので、正しいことが分かります。実際の論理回路の設計では、よく使います。
 (vii),(viii)はちょっと証明めいたものが必要かもしれません。

 A+A*B=A*1+A*B=A(1+B)=A*1=A …(vii)

 A+/A*B=A*(1+B)+/A*B=A+(A*B+/A*B)
      =A+(A+/A)*B=A+B …(viii)

アンダーラインの部分が常に1になるのは、(viii)の3番目、8番目の式を使っています。(ix)はどれも自明です。

それでは、解答に移ります。この問題は2つの方法で解いてみます。
 まずは真理値表です。この回路の真理値表はFig.HD0605_bの右のようになります。選択肢の中からMの欄を見比べてが正解と分かります(問題図とFig.HD0605_bの表の「0」「1」の並び方が違うので、注意して下さい)。
 次に論理式で解いてみます。Fig.HD0605_bの中ほどにもあるように、
 P=/A …(a)
 Q=/B …(b)
 R=/A*B  …(c)
 S=/B*A  …(d)
 M=R+S
  =/A*B/B*A …(e)
(e)式の第1項は、A=0かつB=1の時にのみ1で、第2項はA=1かつB=0の時にのみ1となります。最終出力はこれらの和(OR)です。これに相当する真理値表は、同じくであり、これが正解と分かります。