□ H16年12月期 A-04  Code:[HB0403] : 並列共振回路で、共振周波数と抵抗分が与えられている時のQの計算
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2022年
12/31 12月期問題頁掲載
09/01 08月期問題頁掲載
05/14 04月期問題頁掲載
H1612A04 Counter
無線工学 > 1アマ > H16年12月期 > A-04
A-04 図に示すRLC並列回路の共振周波数が3.5 [MHz]のとき、回路のQの値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、抵抗Rは4.7 [kΩ] 及びコイルLの自己インダクタンスは42 [μH] とする。
 0.2
 2.0
 5.1
19.6
32.0
問題図 H1612A04a
Fig.H1612A04a

 この問題で問われているのは、コイルに抵抗分のない理想状態の並列共振回路のQです。出題数としては、コイルに直流抵抗がある場合のものが多いのですが、これはそのような問題ではなく、教科書にも損失のないコイルと並列に抵抗が入った共振回路のQは出ていないものがほとんどです。現実にはこういう回路を組むことはあまりないからではないでしょうか? それだけに、「そもそも共振回路とは?」「Qとは?」という原理的なことが分かっていなければ公式丸暗記では解けない問題です。そんなわけで、まずコイルに損失のない回路モデルで「共振とは何か」を考えた後、問題の回路にかかりましょう。

第1部 共振回路を学ぶ前に

[1]『共振』を学べば高周波回路が分かる

 高周波回路、ことに無線に関係する回路の動作や無線機・アンテナの調整にいたるまで、この「共振」という現象と「回路のQ」という言葉抜きにしては語れません。長くなりますが、「そもそも回路が共振するというのは(物理現象として)どういうことか」ということから始めます。これを理解していれば、フィルタ回路や、送受信機の回路動作など、他のジャンルの問題を解くことが可能になります。

[2]基本的事項の確認…直列と並列共振回路と表記

 まず基本的な事柄の確認です。回路の共振には、Fig.HB0403_a左のような直列共振と、その右のような並列共振があります。無線の回路で多く見られるのは並列共振回路の方です。
Fig.HB0403_a 直列・並列共振回路
Fig.HB0403_a
直列・並列共振回路
 この後必要になるポイントですから、ここでよくこの両者を見比べてみて欲しいのですが、「直列」の方はLCR三素子に共通なのは流れている電流です。途中で電子が増えたり減ったりはしませんから、これは明らかです。一方、並列の方では三素子にかかる電圧が共通です。これも、3つとも同じ電源に繋がれているので当然といえば当然です。
 以下の図では、交流回路ですから、電流・電圧をベクトルで表記します。この方法に慣れていない方は、是非ともベクトル表記に慣れて下さい。
 私も高校生時代に「交流理論」なる本を借りて読んだ時は、ワケが分からず瞬間睡眠したものですが、今になってこんな便利なものがあるのか、と思います。
 余談はさておき、「直列共振回路では、各素子に流れている電流は同じだが、素子の両端に生じている電圧は各々大きさも向き(ここで言う「向き」は電圧ベクトルの向きなので、実は位相のこと)も違う」「並列共振回路では、各素子にかかる電圧は同じだが、素子に流れる電流は各々大きさも向きも違う」ということを頭に入れて下さい。
 電源電圧や電流、各素子にかかる電圧や流れる電流をFig.HB0403_aのように取ります。図の中の斜体文字の電圧や電流はベクトル量であることを示します。文章の中では基本的にはすべてベクトル量(複素数)とします。

第2部 直列共振回路について

[1]回路のインピーダンスと共振周波数

 Fig.HB0403_a左の直列共振回路の合成インピーダンスZsを考えます。直列ですから単純にRCL各素子のリアクタンスをXR=R,XC=−1/(ωC),XL=ωLとして足せばよいので、
 Zs=XR+j(XC+XL
   =R+j(ωL−1/ωC) …(1)
となります。共振周波数を求めるには、Zsの大きさが最小になればよく、虚数部分(青字の部分)=0と置いて、共振周波数fRを求めれば、よく知られた
 fR=1/{2π√(LC)} …(2)
が出ます。ところで、さらりと「虚数部分をゼロにすればいい」と書いてしまいましたが、これは非常に深い意味を持ちます。この後も何度か出てきますから、意味を理解して下さい。
 「インピーダンスの虚数部分をゼロにする」ということの意味は、電源にそのインピーダンスを負荷として接続した時、電圧の位相と電流の位相がずれないようにできる、ということを意味します。相手が抵抗だけであれば位相はずれませんが、インダクタンス分やキャパシタンス分が含まれると、電圧に対して電流が遅れたり進んだりします。つまり、「共振させる」ということは、インダクタンス分とキャパシタンス分が逆符号で打ち消しあうような回路の状態にする、ということを意味します。
 一方、電源電圧Eは、(共振していようがいまいが)全ての素子の両端に生じた電圧の(ベクトル的な)和ですから、
 VR=IR   VC=−jI/ωC   VL=jωIL
と置いて、
 E=IZs=I{R−j/(ωC)+jωL}
  =VR+VC+VL …(3)
と表せます。共振した時は、(3)式の中にjの項(青字の項)がゼロになってしまう、ということです。

[2]電源周波数と回路の動作

 下のFig.HB0403_bを見ながら考えて行きましょう。
Fig.HB0403_b 直列共振回路と電源周波数
Fig.HB0403_b 直列共振回路と電源周波数

(1)電源周波数が共振周波数より低い時

 まず、電源周波数ω(=2πf)が共振周波数ωR(=2πfR)より低い時は、容量性リアクタンスXC(=1/ωC)と誘導性リアクタンスXL(=ωL)を比べると、XC>XLとなっています。要するに、周波数が低いので、コンデンサのリアクタンスよりコイルのリアクタンスの方が小さいのです。ここで、前の方で挙げた、「直列回路では流れる電流が全素子に共通」ということを思い出して下さい。電流Iが共通ですから、リアクタンスの大きい方、すなわちコンデンサの両端の電圧の方がコイルのそれより大きくなります。
 この状態をベクトル図で描くと、Fig.HB0403_b左のようになります。VLとVCは、向きが互いに逆で、その大きさを比べると、VL<VCです。電源電圧ベクトルEは、(3)式で表されますから、この図で行くと水平線(抵抗両端電圧VRや電流Iの向き)より下に来ます。つまり、電源電圧Eを基準にすると電流Iは(位相が)進んでいるという状態になります。(ちなみに、抵抗の両端の電圧VRと電流Iの位相は同じです。)このような状態を、回路のリアクタンスは容量性であるといいます。式で言うと、(1)式のjの係数が負、ということになり、電源から見ると、キャパシタンス分が多く見える、ということです。

(2) 電源周波数が共振周波数より高い時

 上とは全く逆の理由で、XC<XLとなります。今度は、周波数が高いので、コイルのリアクタンスよりコンデンサのリアクタンスの方が低いのです。また、コイルの両端の電圧の方がコンデンサのそれより大きくなります。この状態をベクトル図で描くと、Fig.HB0403_b右のようになります。VL>VCです。電源電圧ベクトルEは、水平線より上に来ます。つまり、電源電圧Eを基準にすると電流Iは遅れているという状態になります。このような状態を、回路のリアクタンスは誘導性であるといいます。式で言うと、(1)式のjの係数が正、ということになり、電源から見ると、インダクタンス分が多く見える、ということです。

(3) 電源周波数が共振周波数と等しい時

 この状態が「共振状態」です。容量性リアクタンスと誘導性リアクタンスは、XC=XLの状態で、コンデンサの両端の電圧とコイルのそれが大きさが等しくなります。
 この状態をベクトル図で描くと、Fig.HB0403_b中のようになります。VLとVCは、向きが互いに逆で、大きさが等しいので、ベクトルの和では零となり、合成後のベクトル中には図の垂直方向の成分は現れてきません。すなわち、回路は誘導性でも容量性でもなくなり、式で言うと、(1)式のjの係数が0、ということになって、電源から見ると、抵抗しか繋がっていないように見える、ということです。
 この時、回路で起こっている物理的な現象は何か、というと、コンデンサやコイルはそれぞれ電界(電気力線)や磁場(磁力線)、という形でエネルギーを蓄える装置ですが、これらは互いに振動する逆方向の電圧(電流は共通)に応じてエネルギーをやり取りしています。「電圧が最大の時に最大のエネルギーを蓄えるコンデンサ」と、「電流が最大の時に最大のエネルギーを蓄えるコイル」が、互いに180°ずれた電圧を振動させながらエネルギーをやり取りしているわけです。この振動数は容量とインダクタンスで決まります。共振状態では、この2個の素子の持つ固有の振動数と電源周波数がぴったり合うため、外(電源)から見ると同じ大きさで逆向きの電圧が合成された結果、見えなく(0 [V])なり、抵抗分だけが残るというわけです。
 従って、回路全体のインピーダンスは最小になりますから、電流Iの大きさは最大となります。(このあたりのことは、この後の「回路のQ」でご説明します。)

第3部 並列共振回路について

[1]回路のインピーダンスと共振周波数

 これもFig.HB0403_a右の回路を元に合成インピーダンスZpから考えて行きます。
 並列ですからアドミッタンス(インピーダンスの逆数)で考えた方が分かりやすいですね。合成アドミッタンスYpは、RCL各素子のリアクタンスをXR=R,XC=−1/(ωC),XL=ωLとして、
 Yp=1/Zp
   =(jXRL+XLC+jXCR)/(XRLC)
   =1/R+j{ωC−1/(ωL)} …(4)
 ∴ Zp=[1/R+j{1/(ωL)−ωC}]/[(1/R)2+{ωC−1/(ωL)}2] …(5)
共振周波数を求めるには、Ypの大きさが最小になればよく、(4)式の虚数部分(青字の部分)=0と置く方法は直列共振の時と同じ手法です。その結果、共振周波数fRを求めれば、直列共振の時と全く同じ方程式になり、
 fR=1/{2π√(LC)} …(2)
が出ます。また、電源電流Iは、共振しているか否かに関わらず、全ての素子に流れる電流の(ベクトル的な)和ですから、
 IR=E/R   IC=jωCE   IL=E/jωL
と置いて、
 I=E/Zs=EYp=E[1/R+j{ωC−1/(ωL)}] …(6)
  =IR+IC+IL …(7)
と表せます。ここでも、着目すべきは、共振時は虚数部分(青字の部分)がゼロになることです。ここまで見てくると、直列共振も並列共振も、本質は変わらない、ということにお気づきかと思います。

[2]電源周波数と回路の動作

 下のFig.HB0403_cを見ながら考えて行きましょう。
Fig.HB0403_c 並列共振回路と電源周波数
Fig.HB0403_c 並列共振回路と電源周波数

(1) 電源周波数が共振周波数より低い時

 まず、電源周波数ω(=2πf)が共振周波数ωR(=2πfR)より低い時は、容量性リアクタンスXCと誘導性リアクタンスXLを比べると、XC>XLとなっています。周波数が低いので、コンデンサのリアクタンスよりコイルのリアクタンスの方が小さいのです。ここまでは直列共振の時と全く同じです。ここで、前の方で挙げた、「並列回路では全素子にかかる電圧が共通」ということを思い出して下さい。電圧Eが共通ですから、リアクタンスが小さい方、すなわちコイルに流れる電流の方がコンデンサのそれより大きくなります。
 この状態をベクトル図で描くと、Fig.HB0403_c左のようになります。ILとICは、向きが互いに逆で、その大きさを比べると、IL>ICです。電源電流ベクトルIは、(7)式で表されますから、この図で行くと水平線(抵抗の電流IRや電源電圧Eの向き)より下に来ます。つまり、電源電圧Eを基準にすると電流Iは(位相が)遅れているという状態になります。ですから、回路のリアクタンスは誘導性となっています。式で言うと、(5)式の分子のjの係数が正、ということになり、電源から見ると、インダクタンス分が多く見える、ということです。

(2) 電源周波数が共振周波数より高い時

 上とは全く逆の理由で、XC<XLとなります。今度は、周波数が高いので、コイルのリアクタンスよりコンデンサのリアクタンスの方が小さいのです。また、コイルに流れる電流の方がコンデンサのそれより大きくなります。この状態をベクトル図で描くと、Fig.HB0403_c右のようになります。IL<ICです。電源電流ベクトルIは、水平線より上に来ます。つまり、電源電圧Eを基準にすると電流Iは進んでいる状態になります。これは、回路のリアクタンスは容量性であるということになります。式で言うと、(5)式のjの係数が負、ということになり、電源から見ると、キャパシタンス分が多く見える、ということです。

(3) 電源周波数が共振周波数と等しい時

 共振状態では、容量性リアクタンスと誘導性リアクタンスは、XC=XLの状態で、コンデンサに流れる電流とコイルのそれが大きさが等しくなります。
 この状態をベクトル図で描くと、Fig.HB0403_c中のようになります。ILとICは、向きが互いに逆で、大きさが等しいので、ベクトルの和では零となり、合成後のベクトル中には図の垂直方向の成分は現れてきません。すなわち、回路は誘導性でも容量性でもなくなり、式で言うと、(5)式のjの係数が0、ということになって、電源から見ると、抵抗しか繋がっていないように見える、ということです。
 この時、回路で起こっている物理的な現象は何か、というと、コンデンサやコイルは互いに振動する逆方向(方向はFig.HB0403_a右のような方向を正とする向き)の電流に応じてエネルギーをやり取りしています。ちょうどシーソーのように、コンデンサとコイルの間を電流が行ったり来たりしているイメージです。この振動数は容量とインダクタンスで決まります。共振状態では、この2個の素子の持つ固有の振動数と電源周波数(位相も)がぴったり合うため、外(電源)から見ると、もし抵抗がなければ電流が全く入れず、あたかもコイルとコンデンサは両方とも無く(インピーダンス=∞)、抵抗しかないように見える、というわけです。
 従って、回路全体のインピーダンスは最大(Rのみ)になりますから、電流Iの大きさは最小となります。(これもまた、この後の「回路のQ」でご説明します。)

第4部 共振回路と回路のQ

 共振回路といえば、必ずと言っていいほど問われるのが回路のQです。そもそも、Qって何?というところから始めたいと思います。
 私自身理解の不足なところでもありますが、端的に言ってしまえば「共振回路のL(コイル)分にどれだけ損失が少ないか」という指標です。この指標が大きいほど、共振回路としては理想的な動作に近づくわけです。ここで言う「損失」とは電流が熱になること、すなわち抵抗分です。先にコイルの損失、と書きましたが、実際にはC(コンデンサ)にも実装基板のパターンにも抵抗があるのですが、線が長く巻いてあるコイルが、最も抵抗分の多い素子なので、他は無視するケースが多いです。
 ではまず、直列共振回路のQから。

[1]直列共振回路の端子電圧とQ

 直列共振回路が共振している時は、Fig.HB0403_bの真中のベクトル図や等式不等式が成り立っています。式だけではよく分からないので、箇条書きで要約すれば、
 (1) コイルとコンデンサの両端の電圧は、大きさが同じで極性が逆
 (2) 電源から見ると、抵抗しか繋がっていないように見える
 (3) 電流Iは電源電圧Eと同位相で、共振していない時に比べ最大値をとる
ということです。ならば、コイルとコンデンサの両端の電圧と、抵抗の両端の電圧はどういう関係になっているのでしょうか? 抵抗の両端に生じる電圧の大きさはRI [V]、コイルの両端に生じる電圧の大きさは、IXL=ωLI [V]です。ちなみに、コンデンサの両端に生じる電圧の大きさもIXC=I/ωC [V]でコイルの電圧と同じです。ここで、両者(抵抗とコイル)の比率を取って、
 Q=ωLI/RI=ωL/R …(8)
という値を定義してしまいましょう。要するに、Qは抵抗の両端の何倍の電圧がコイル(またはコンデンサ)の両端に生じているかという値だというわけです。ちなみに、抵抗両端の電圧VRは電源電圧Eと位相も大きさも同じです。
 実際のコイルとコンデンサのみ(抵抗がない)からなる直列共振回路では、Qが数10〜数100程度です。ということは、電源電圧が数[V]でも、コンデンサやコイルの両端には数100 [V]が発生する、ということですので、これだけの耐圧がないと絶縁破壊を起こします。バッテリー駆動のモービル機であっても、高周波出力回路の充電部に触れると危険だ、というのはこのあたりの原理に起因します。

[2]並列共振回路の素子電流とQ

 L・Cが理想的素子で、並列に抵抗が入っている場合の並列共振回路のQは、分かりにくいです。普通はコイルに抵抗分がある場合が出ているのみで、私も教科書を読まないと分かりませんでした。
 まず、「並列回路」ですから、RLCそれぞれにかかる電圧は共通なので、それぞれに流れる電流に着目します。右図のように、周波数f [Hz]の交流電源(起電力E [V])から流れ込む電流をI [A]、R,L,C各々に流れ込む電流をIR [A],IL [A],IC [A]とします。
 問題には,Cの容量が書かれていないことがあります。Cの容量がわからないとQが求められないのでは、と一瞬思います。
 回路は共振していますから、Cを求めようと思えばできます。しかし、ここでは求める必要はありません。理由は以下に説明します。
Fig.HB0403_d 抵抗のある並列共振回路
Fig.HB0403_d
抵抗のある並列共振回路
 理想的なLとCのみからなる並列共振回路が共振している時は、LとICは大きさが同じで位相が逆の電流で、LやCには電源からは電流が流れ込みません
 これに並列に抵抗Rが繋がった回路ですから、共振時は電源からの電流は抵抗のみに流れます。すなわち、
 I=IR=E/R …(7)
です。一方、LやCには電流が流れていないわけではなく、LやCの両端に電源と同じ位相で電圧を発生させる、下の式の大きさの「振動電流」
 IL=E/(ωL) …(8)
が流れています。コイルに抵抗がない場合の並列回路のQの定義は、「共振時にL(またはC)に流れる振動電流と抵抗に流れる電流の比」ですから、Lに流れる電流が分かればいいわけです。(問題では、Cの容量が出ていませんが、振動電流を求めるには不要なので、計算する必要はありません。)
 Qを求めるには、ILとIRの比を取ればよいので、
 Q=IL/IR
  =[E/(ωL)]/(E/R)
  =R/(ωL) …(9)
となります。
 この式は見慣れた式と比べて何か変ですね。普通、直列共振回路や抵抗分を持つコイルを使った並列共振回路では、Q=ωL/Rですから、分子と分母が逆です。しかし、Qが「回路の良さ(損失の少なさ)」を表す指標だと考えれば、抵抗が大きければ大きいほど、LCに流れる電流よりも「無駄に」抵抗に流れて熱になってしまう電流が少なくなるわけですから、(9)式でQが大きくなるのも理解できます。
 こうして見てくると、Qの定義式でRが分母に来るか分子に来るかは、抵抗分がコイル(厳密にはコンデンサや配線にもありますが)に直列に入っているか否かで異なる、ということです。定性的な理解では、LやCに直列に損失となるRが入っている時は、共振電流を直接妨げるのでRは小さい方がよく、LやCが理想的で、それにRが並列に入っている時は、直接には共振電流を損失させないが、電源から「ムダ電流」をRに流すことになるので、値は大きい方がいい、ということになります。

それでは、解答に移ります。
 (9)式に題意の数値を代入して計算すれば、Q=5.1となりますから、正解はと分かります。