□ H19年08月期 A-24  Code:[HJ0303] : 倍率器の抵抗値を変更した時に、最大測定可能電圧がどう変化するかの計算
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2022年
05/14 04月期問題頁掲載
01/11 12月期問題頁掲載
2021年
10/17 09月期問題頁掲載
H1908A24 Counter
無線工学 > 1アマ > H19年08月期 > A-24
A-24 図に示す直流電圧計を用いた測定回路において、スイッチSをaに接続したとき、測定可能な最大電圧が20 [V]であった。Sをbに接続したときの測定可能な最大電圧の値として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、直流電圧計の最大目盛値を5 [V]とする。
40 [V]
45 [V]
50 [V]
55 [V]
60 [V]
問題図 H1908A24a
Fig.H1908A24a

 電圧計は微小電流でフルスケールに振れる電流計と、問題の図には隠れていますが、倍率器という(通常は)抵抗器から構成されています。電流計の方はほとんど内部抵抗は無視できますので、電圧計の内部抵抗は倍率器の抵抗値、と考えて構いません。

[1]倍率器の抵抗値(=内部抵抗)を求める

 上に書いたように、この問題を見た時に、隠れている抵抗(倍率器)に気がつかなければなりません。それが分かれば、後は必要なのはオームの法則だけです。
Fig.HJ0303_a 電圧計の内部抵抗と倍率器
Fig.HJ0303_a
電圧計の内部抵抗と倍率器
 Fig.HJ0303_aのように電圧計をモデル化します。内部抵抗をRVとして、フルスケール電圧をVmaxとします。
 また、スイッチのa側に繋がっている抵抗をRa [Ω]、b側に繋がっている抵抗をRb [Ω]とし、a側に倒した時の最大測定電圧をVa、b側に倒した時のそれをVbとします。
 まず、電圧計がフルスケールに振れた時の電流Imaxを求めておきます。電圧計単体の最大指示値がVmaxで内部抵抗がRVですから、
 Imax=Vmax/RV …(1)
となるのがオームの法則です。
と、ここまでは準備ですが、オームの法則以外は何も使っていません。

[2]外部に倍率器を付加した時の測定レンジの拡大

 ここからは、外部に倍率器の抵抗をつけて、測定範囲を拡大するわけですが、上で求めた「不変量」に着目すれば、これもオームの法則のみです。
 まず、スイッチをa側に倒した時を考えます(Fig.HJ0303_b左)。
 電流がIでフルスケールに振れることには変わりありませんから、下記が成り立ちます。
 Va=Vmax+Imaxa
 ∴ Imax=(Va−Vmax)/Ra …(2)
 次に、スイッチをb側に倒した時(Fig.HJ0303_b右)も同様に考えて、
 Vb=Vmax+Imaxb
 ∴ Imax=(Vb−Vmax)/Rb …(3)
となります。
Fig.HJ0303_b 倍率器の値と電圧計の振れ
Fig.HJ0303_b
倍率器の値と電圧計の振れ
 ここで、(2)=(3)と置いて、Iを消去すれば、
 (Va−Vmax)/Ra=(Vb−Vmax)/Rb
 ∴ Rb(Va−Vmax)=Ra(Vb−Vmax) …(4)
となります。結局(4)式にはImaxやRVは出てきませんでした。後は、問題に与えられている数値を代入して、未知数について解くだけです。もし、ImaxやRVが未知数なら、Imaxは消去せずに残しておかなければなりません。
 上記は計算のテクニック上の問題で、この問題の本質ではありません。この問題の本質は、倍率器をつけてもつけなくても、あるいはその抵抗値が変化しても、計器がフルスケールに振れる、ということはそこに流れている電流が同じだ、ということです。

それでは、解答に移ります。
 この問題の未知数は、Vbですから、(4)式をVbについて解いて、
 Vb=(Rb/Ra)(Va−Vmax)+Vmax …(a)
となります。(a)式にVmax=5 [V]、Va=20 [V]、Ra=150 [kΩ]、Rb=450 [kΩ]、をそれぞれ代入すると、Vb=50 [V]となりますから、正解はと分かります。