□ H20年04月期 A-08  Code:[HD0607] : 論理回路の回路図と論理式の対応
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2022年
05/14 04月期問題頁掲載
01/11 12月期問題頁掲載
2021年
10/17 09月期問題頁掲載
H2004A08 Counter
無線工学 > 1アマ > H20年04月期 > A-08
A-08 次の図は、論理式と論理回路の組合せを示したものである。このうち誤っているものを下の番号から選べ。
問題図(横長) H2004A08a
Fig.H2004A08a

 真理値表で解いてもいいのですが、入力が2本で、5つも回路があり、しかも回路図記号と論理式がありますから、4(22)×5×2で40通りもの状態を解かねばなりません。ここでは論理式を取った方が速いでしょう(多分)。

[1]簡単なブール代数を使おう

 論理式で解く前に、お断りをしておきますが、not(A)は普通、Aの文字の上に線(バー)を引きますが、HTMLで表記できないので、/A(スラッシュA)と書きます。
 論理式はいろいろ法則があって、難しい印象を受けた方もおられるでしょうが、結合則や分配則といった、普通に我々が使っている数式と同じものもあります。論理式特有なもので、アマチュアレベルで出題される難しいものはほとんどありません。以下、そんなポイントをまとめてみました。
 A+B   論理和…ORのこと。AまたはBが真の時、真となる。
 A*B   論理積…ANDのこと。AもBも真の時、真となる。
 /A     否定……NOTのこと。Aが真なら偽、偽なら真。
上記の基本に加えて、下記のような数式を扱う上での法則があります。普通の数値の計算と同じく、乗算が優先で、カッコがあればさらにそれが優先です。
 A+B=B+A …(i) (和の)交換則
 A*B=B*A …(ii) (積の)交換則
 A*(B+C)=A*B+A*C …(iii) 分配則
 A*B+A*C=A*(B+C) …(iv) 結合則
この他に、論理式特有の法則として、下記を挙げておきます。
 /(A+B)=/A*/B …(v)
 /(A*B)=/A+/B …(vi)
 A+A*B=A …(vii)
 A+/A*B=A+B …(viii)
 1*A=A  0*A=0  1+A=1  0+A=A
 A*A=A  A*(/A)=0  A+A=A  A+(/A)=1 …(ix)
(v),(vi)はANDまたはOR全体にNOTを付けるとANDとORが入れ替わって、各入力のNOTになってしまう、という不思議な法則です。ド・モルガンの法則と呼ばれます。説明はしませんが、真理値表を書いてみると、確かにそうなっているので、正しいことが分かります。実際の論理回路の設計では、よく使います。
 (vii),(viii)はちょっと証明めいたものが必要かもしれません。

 A+A*B=A*1+A*B=A(1+B)=A*1=A …(vii)

 A+/A*B=A*(1+B)+/A*B=A+(A*B+/A*B)
      =A+(A+/A)*B=A+B …(viii)

アンダーラインの部分が常に1になるのは、(viii)の3番目、8番目の式を使っています。(ix)はどれも自明です。

それでは解答に移ります。
 …記号はORなのに論理式はANDです。これもド・モルガンか?と思いきや、この記号に従えば、X=/A+/B=/(A*B)でなければなりませんから、誤りです
 …記号と論理式が一致していますから、正しいです
 …記号はAND、論理式はORですが、ド・モルガンの(v)式を使えば、これが正しいことが分かります
 …記号と論理式が一致していますから、正しいです
 …記号と論理式が一致していますから、正しいです
となりますから、正解(誤った選択肢)はと分かります。