□ H29年08月期 A-22  Code:[HI0404] : 電波の見通し距離と送受信アンテナ高の計算
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2019年
09/02 08月期問題頁掲載
04/13 04月期問題頁掲載
2018年
12/09 12月期問題頁掲載
H2908A22 Counter
無線工学 > 1アマ > H29年08月期 > A-22
A-22 超短波(VHF)帯通信において、送信アンテナの地上高を25 [m]、受信アンテナの地上高を16 [m]としたとき、電波の見通し距離の値として、最も近いものを下の番号から選べ。ただし、大気は標準大気とする。
27.8 [km] 32.2 [km] 37.1 [km] 40.4 [km] 49.5 [km]

 1アマで見通し距離の計算が出題されたのは、今回(H29年8月期)が初めてではないかと思いますので、収録します。公式を覚えてしまえばただの計算問題ですが、何故その公式が導かれるのか、を考えてみたいと思います。

[1]標準大気の意味

 まず、問題文に「標準大気」とか「等価地球半径」とかいう用語が出てきたら要注意です。地球上の大気は、地表から上空に向かって屈折率が小さくなっています(標準大気)。このような媒質中で、屈折率の分布方向(鉛直方向)からずれた方向に電磁波を伝搬させようとすると、経路が直線で記述できません(要は曲がる、ということ)。このことを考慮に入れて問題を解け、ということです。
 電磁波の経路を直線で表せるようにするため、地球の半径が大きくなったことにしてしまう、というのが等価地球半径係数Kと呼ばれるものです。K=4/3で、地球の実半径が約6,370 [km]ですから、その4/3で、約8,490 [km]になった、と考えるわけです。この辺りの話は、H1312B05の解説に詳しく書いていますので、ご参照下さい。

[2]見通し距離の計算式

 ではここから、送受信アンテナ高が与えられている時の、地球上での見通し距離の計算式の導出をやってみます。
Fig.HI0404_a 標準大気中の到達距離
Fig.HI0404_a
標準大気中の到達距離
 まず、Fig.HI0404_aのように、送受信アンテナ高G11、G22をそれぞれh1 [m]、h2 [m]とします。等価地球半径KRは8,490 [km]です。こうしてしまえば、電波の経路は直線になりますので、幾何学的に問題を解けばいいことになります。
 送信点から電波が地表すれすれを通る、C点までの距離をd1 [m]とし、∠COG1=θ [rad]とします。この図形でd1がいくらになるか、を解いて、受信側も全く同様にd2を求めて両者を足せばいい、という算段で進めます。
 △COP1において、各辺の長さについては、
 
が成立ちます。ここで、直接波の伝搬距離d1はKRに比べて非常に小さいので、
 
と書けます。また、θも小さいので、三角関数の近似式を使って、(1)式の中のcosθを表現すると、
 
と書けます。これを(1)式のcosθに代入すると、
 
となって、さらにこの(4)式のθに(2)式のθを代入すると、d1
 
と求められました。あとは、全く同様にしてd2も求めてしまえばよく、
 
となります。これでd1とd2を足せばよいわけですが、KRは[km]単位で、h1やh2は[m]単位で間違えやすいので、両者を[m]単位に揃えて(送受信点の地上高が[km]単位で書かれることはまずないため)計算すれば、
 
と書けます。あとは、問題に応じてこの式を変形するとか、単位を修正するとかすればよいわけです。
 この問題は、地上高x [m]のアンテナから見通せる範囲はどこまでか、という問題(h2=0とすればよい)でもあります。関東では、地上波TVの送信が東京タワー(アンテナ位置を海抜300 [m]とする)から東京スカイツリー(アンテナ位置を海抜600 [m]とする)に変わりました。単純に送信点の高さが2倍になったとして、地上で受信できるカバーエリアは、円の半径にして√2倍(71.4→100.9 [km])、面積にして2倍(16,000 [km2]→32,000 [km2])になったことになります。

 実は上記の導出は、1陸技の無線工学Bで出題されたものの、殆どそのままです。

それでは、解答に移ります。
 計算式の意味が分かってしまえば、あとは(7)式に代入するだけです。h1もh2も電卓がなくてもいいように、ルートを求めても整数になるような数字になっています。
 (7)式にh1=25 [m]、h2=16 [m]を代入して、
 見通し距離=4,121×(√25+√16)≒37,100 [m]=37.1 [km]
となりますから、正解はと分かります。

 上の、電波塔の例ではありませんが、(7)式は、約4,100にアンテナ高のルートを掛ける、と覚えておけば良いでしょう。私は、この問題を、昔、解いた記憶がありますが、係数4,100を忘れて全く解けませんでした。