□ R01年08月期 A-04  Code:[HB0304] : 交流ブリッジの平衡条件
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05/14 04月期問題頁掲載
01/11 12月期問題頁掲載
2021年
10/17 09月期問題頁掲載
H3108A04 Counter
無線工学 > 1アマ > R01年08月期 > A-04
A-04 図に示す交流ブリッジ回路が平衡しているときの交流電源の周波数f [Hz]を表す式として、正しいものを下の番号から選べ。
問題図 H3108A04a
Fig.H3108A04a

 この問題は、R01年の8月期に始めて出題されました。今迄のブリッジの平衡計算は、抵抗・リアクタンスの条件だけでしたが、新たに周波数の条件が入ってきました。複素数計算は少し入ってきますが、ブリッジの平衡条件はリアクタンスがあろうがなかろうが、同じ考え方で行けます。

[1]交流ブリッジの平衡条件とは

 (抵抗だけの)直流ブリッジの時、検流計に電流が流れない状態(平衡状態)は、検流計の繋がれているノード間の電位差がゼロ、という条件でした。この条件は、電源が交流になり、抵抗がインピーダンスに変わっても、全く同じです。
 ここで、Fig.HB0304_aのような交流ブリッジを考えます。それぞれの辺にはZ1からZ4のインピーダンスが繋がれており、各々は、下記のようになっているとします。
 
抵抗のみの時と同じ要領で、ブリッジの平衡条件を求めます。1とZ2での電圧分割比とZ4とZ3での電圧分割比が等しいと置いて、
Fig.HB0304_a 交流ブリッジの平衡条件
Fig.HB0304_a
交流ブリッジの平衡条件
 
(6)式のZ1からZ4に(1)から(4)式を代入して、
 
となります。この式が「常に」成立つためには、これを展開した、実数部と虚数部のそれぞれが等しくなければなりません。つまり、
 左辺の実数部=右辺の実数部 かつ 左辺の虚数部=右辺の虚数部
が、このブリッジの平衡条件、というわけです。これを式で書けば、
 
となります。(7)式を展開する際に、多少の複素数計算が入ります。複素数計算に自信のない方は、練習問題だと思って実際にやってみて下さい。
 ここでの要点は、両辺が複素数である恒等式
 複素数式1=複素数式2
が成立つためには、上の(8),(9)式の両方が成立つことが必要十分条件である、という点です。
 実部と虚部が同時に等しい、という条件は、複素数計算でよく用いられます。この方法の便利な点は、「一つの物理現象で2つの条件式が導き出せる」というところです。例えば、ある複素数Z(=R+jX)が、ある条件でZ=0になるとすると、その条件ではR=0かつX=0の2つの条件を同時に満たす、ということを意味するのです。

[2]周波数の条件

 抵抗のみのブリッジの場合、平衡条件は抵抗の定数だけで決まりますが、リアクタンスが入っている交流ブリッジの場合は、交流の周波数にも依存します。このことを考えてみます。
Fig.HB0304_b リアクタンスが一部にあるブリッジ
Fig.HB0304_b
リアクタンスが一部にあるブリッジ
 例として、Fig.HB0304_aのZ1とZ3の辺だけにリアクタンスX1、X3があって、他の辺はゼロ(X2=X4=0)の交流ブリッジがあるとします。これを、Fig.HB0304_bに示します。
 このブリッジの平衡条件を考える際も、[1]と全く同様にして、(8)式と(9)式にこの条件(X2=X4=0)を入れてやればよいわけです。
 つまり、以下の(10)式から(13)式までを新たな条件として、計算して行きます。
 
 まず(8)式にX2=X4=0を代入すると、
 
となります。ここで、X1が抵抗に直列のキャパシタ(コンデンサ)で、X3が抵抗に直列のインダクタ(コイル)だとすると、
 
となります。これはいいのですが、(14)式の右辺に(15)式をそれぞれ代入すると、ωが消えてしまい、周波数を含む方程式になりません。そこで、次に(9)式にX2=X4=0を代入すると、
 
となりますから、これを整理して、
 
という形にします。この式の右辺に(15)式をそれぞれ代入すると、
 
となります。今度はωが消えていませんので、周波数を求めることができます。(17)式とこの(18)式とを合わせて、以下のように計算できます。  
 この式を見ると、抵抗のみを含む辺(R2とR4)の定数と周波数は無関係、ということになっています。しかし、これは、2とR4が何でもいい、ということではなくて、(14)式が成立つ条件の下で、周波数の条件としてこうなる、ということです。

[3]実際の交流ブリッジ

 問題集などを見ると、4辺のZのそれぞれが、抵抗のみだったり、キャパシタ(コンデンサ)やインダクタ(コイル)と抵抗の合成インピーダンスだったり、様々な組み合わせによって、「○○ブリッジ」(○○には人名が入る)という多数の種類のブリッジが出ています。それぞれに平衡条件があるのですが、全部覚えるのは大変ですし、名前のない回路が出ることもあり得ますから、名前や式を覚えることよりも、上に述べた「交流ブリッジの平衡とは何か」を理解し、そこから(8),(9)式を導出できることが重要です。
 通常、4辺全てに抵抗分とリアクタンス分の両方が含まれていることは余りなく、つまり、X1からX4、R1からR4のうち、どれかがゼロのことが多いので、(8),(9)式ほど複雑になることはありません。

それでは、解答に移ります。
 この問題では、Fig.HB0304_bで添字の3と4が入れ替わっているだけですので、(20)式の√の中の分子のR3がR4になります。その(20)式から、正解はと分かります。
 ところで、気が付いた方はおられると思いますが、この問題は、選択肢の次元を見れば、5択の問題が2択になってしまいます。難しい数式は分からなくとも、共振周波数の公式:f=1/[2π√(LC)](つまりLCは時間2の次元を持つ)とL/Cが抵抗2の次元を持つことを知っていれば、各選択肢の次元が、
の選択肢:周波数=周波数×抵抗-1
の選択肢:周波数=抵抗-1
の選択肢:周波数=周波数2
となって、明らかにおかしいことがすぐに分かります。は右辺が周波数の次元を持っていますから、これらのどちらか、ということになりますので、「鉛筆転がし」でも勝率5割です。
 さらに、回路的に考えてみれば、抵抗の値が何であろうが、LとCの値だけで周波数の平衡条件が決まる、と主張する選択肢は、どう考えてもおかしい(世の中で、交流ブリッジを使った機器が、そもそも不要になるかも知れない)ので、消去法で、と分かってしまいます。
 初めての出題で、難しい問題なので、ボーナス的な配慮かも知れませんが、そのうち、この解説を見た問題作成者が、選択肢の次元を全部統一してしまうかも知れません。その日のために、交流ブリッジを見たら(7)式を立てて、(8)式と(9)の両方が成立つ、というところまで導出できるようにしておきましょう。