| □ R04年04月期 A-11 Code:[HF0707] : 受信機で起こる2波3次の相互変調について、周波数関係を計算する |
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| 12/31 12月期問題頁掲載 |
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この問題は今回（2022年4月期）が初出ですが、結果を知らないと、非常に難問です。以下は、１陸技の解説用に書き溜めていた数式だらけの内容をそのままお出しします。結果の式だけを暗記したい方は、解答部分だけをお読みいただいても構いません。 数式だらけですが、途中の計算の省略は（ほぼ）していません。追って行けば、受信機で3次のIMDが何故問題なのか、また、かくも自然現象が数式でうまく説明できるのか、がよく分かります。
INDEX［１］相互変調は回路の「ひずみ」に起因する現象［２］ひずみ波の周波数成分の解析 (1) 解析の準備 (2) １次の項 (3) ２次の項 (4) ３次の項 ［３］全ての信号成分を周波数順に並べてみると何が分かるか？ ［４］問題となる相互変調積とその性質 解答 ［１］相互変調は回路の「ひずみ」に起因する現象通常、増幅回路等の能動回路は半導体素子を使って構成します。これらの素子は、多かれ少なかれ、入力波形に対して出力波形が比例しない「非直線性」、すなわちひずみを持っており、入力が単一信号の場合は、周波数が整数倍の高調波の原因となります。また「ひずみ」は、言い換えると、入力信号ｅに対して、得られる出力がｅに比例する成分のみならず、ｅ2に比例する成分、ｅ3に比例する成分…、と、ｅの高次の項に比例する成分が出力されることです。 | |||||||||||||||||||||||||||||
 Fig.HF0707_a ２つの入力波に対する出力 |
入力が単一正弦波の場合は、基本波以外に直流分と高調波が含まれるだけですが、複数波の場合は話が途端に厄介になります。というのも、Fig.HF0707_aのように、入力が周波数が近いｅ1とｅ2という２つの信号成分で構成されている場合、出力にはそれぞれの高次の成分（ｅ1n, ｅ2n）以外に、ｅ1ｅ2やｅ12ｅ2、ｅ1ｅ22…といった、入力の成分間の積の形で表される項が現れるのです。 混変調積とは、多信号入力の回路で、出力に現れるひずみ成分のうち、信号間の積の形で表される成分のことを言います。 |
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以下に解析しますが、３次の成分に含まれる、周波数が「ｅ1の2倍高調波−ｅ2」、又は「ｅ2の2倍高調波−ｅ1」の成分は、基本波に周波数が近く、フィルタ等で容易に取り除けないため、問題となります。増幅段の途中に、周波数が近接する電波が入り込み、これらの成分が取り除けずに、後段で増幅されてしまうことが問題だ、というわけです。 それでは、以下に、２信号成分がひずみを持つ回路から出力される場合の周波数や電力について、解析して行きます。 ［２］ひずみ波の周波数成分の解析(1) 解析の準備これから、長い長い計算の過程に入ります。試験の際にこれをやらなければならない、という意味ではなく、問題の背景となっている理論を説明するものです。試験の際には出題される問題の解答を「知識」として覚えておくしかないでしょう。まず、ある回路の伝達関数（入力に対して出力がどういう関数で表現されるか）が、以下のように２信号の入力ｅ1, ｅ2の和に対して、３次までの項で表現されていると仮定します。つまり、 ｅ＝ｋ1(ｅ1＋ｅ2)＋ｋ2(ｅ1＋ｅ2)2＋ｋ3(ｅ1＋ｅ2)3 [V] …(1) ここで、ｋ1,ｋ2,ｋ3はそれぞれ比例定数で、ｋ1は無次元量、ｋ2は[V-1]、ｋ3は[V-2]の次元を持つ定数とします。また、ｅ1とｅ2はそれぞれ振幅がＡ1, Ａ2 [V]で角周波数がω1, ω2 [rad/s]の正弦波であるとします。 ｅ1＝Ａ1cosω1t …(2) 希望波 ｅ2＝Ａ2cosω2t …(3) 混入波 この時、この回路の出力ｅがどういう周波数成分でどういう強さの信号からなるのか、を解析して行きます。 この解析で、どうしてもお出ましいただかなければならない三角関数の公式を、３つだけ挙げておきます。 cosαcosβ＝(1/2){cos(α＋β)＋cos(α−β)} …(公式1) cos2α＝cosαcosα＝(1/2){cos(α＋α)＋cos(α−α)} ＝(1/2)(cos2α＋1) …(公式2) cos3α＝cos2αcosα＝(1/2)(cos2α＋1)cosα ＝(1/2)(cos2αcosα＋cosα)＝(1/2){(1/2)(cos3α＋cosα)＋cosα} ＝(1/4)cos3α＋(3/4)cosα …(公式3) (公式2)は、(公式1)でβ＝αとおけば得られますし、(公式3)は(公式2)×cosαとして(公式1)を再度使ったものですから、実質的に覚えておかなければならないのは(公式1)だけです。 (2) １次の項それでは、(1)式の１次の項ｅo1＝ｋ1(ｅ1＋ｅ2) …(4) について考えます。この(4)式は、ｅ1,ｅ2に(2)式,(3)式を代入すれば ｅo1＝ｋ1(Ａ1cosω1t＋Ａ2cosω2t) ＝ｋ1Ａ1cosω1t＋ｋ1Ａ2cosω2t …(5) であり、単純にｅ1とｅ2を合わせたものをｋ1倍に増幅したものです。ｅ2は混入波ですから、増幅したくありませんが、ｅ1と周波数が近いので、これが増幅器の帯域内にある場合は(5)式の第2項が出てきてしまいます。 (3) ２次の項(1)式の２次の項である、ｅo2＝ｋ2(ｅ1＋ｅ2)2 …(6) について計算します。(6)式に(2)式,(3)式を代入して展開すれば、 ｅo2＝ｋ2(ｅ12＋2ｅ1ｅ2＋ｅ22) ＝ｋ2Ａ12cos2ω1t＋2ｋ2Ａ1Ａ2cosω1tcosω2t＋ｋ2Ａ22cos2ω2t …(7) cosの２次の項が入っていますので、公式を使って１次の項に変形したいのですが、これを一気に計算するのは大変ですから、下記のように分けて計算します。 第1項：ｋ2Ａ12cos2ω1t 第2項：2ｋ2Ａ1Ａ2cosω1tcosω2t 第3項：ｋ2Ａ22cos2ω2t 第1項と第3項の計算には(公式2)を使います。 第1項＝ｋ2Ａ12cos2ω1t＝(ｋ2/2)Ａ12(cos2ω1t＋1) ＝(ｋ2/2)Ａ12cos2ω1t＋(ｋ2/2)Ａ12 …(8) 同様にして第3項も、 第3項＝ｋ2Ａ22cos2ω2t＝(ｋ2/2)Ａ22(cos2ω2t＋1) ＝(ｋ2/2)Ａ22cos2ω2t＋(ｋ2/2)Ａ22 …(10) 第2項の計算には(公式1)を使います。 第2項＝2ｋ2Ａ1Ａ2cosω1tcosω2t ＝ｋ2Ａ1Ａ2{cos(ω1＋ω2)t＋cos(ω1−ω2)t} ＝ｋ2Ａ1Ａ2cos(ω1＋ω2)t＋ｋ2Ａ1Ａ2cos(ω1−ω2)t …(9) となります。結局、第1項から3項までを足してｅo2を求めると、 ｅo2＝(ｋ2/2)Ａ12＋(ｋ2/2)Ａ22＋ｋ2Ａ1Ａ2cos(ω1−ω2)t ＋(ｋ2/2)Ａ12cos2ω1t＋ｋ2Ａ1Ａ2cos(ω1＋ω2)t ＋(ｋ2/2)Ａ22cos2ω2t …(11) という、６つの成分（周波数の低い順に整理）が出てきます。後ほど各成分について解析しますが、(11)式の第1項と第2項は、tが入っていないので、直流成分です。その他、第3項の周波数「差」の成分、第5項の周波数「和」成分、それに、第4項と第6項の２倍波の成分が出てきます。 (4) ３次の項２次と同様に、(1)式の３次の項である、ｅo3＝ｋ3(ｅ1＋ｅ2)3 …(12) について計算します。項数が多いので、計算が大変面倒ですが、間違えないように行きます。(12)式に(2)式,(3)式を代入して展開すれば、 ｅo3＝ｋ3(ｅ13＋3ｅ12ｅ2＋3ｅ1ｅ22＋ｅ23) ＝ｋ3Ａ13cos3ω1t＋3ｋ3Ａ12Ａ2cos2ω1tcosω2t ＋3ｋ3Ａ1Ａ22cosω1tcos2ω2t＋ｋ3Ａ23cos3ω2t …(13) これらにもcosの高次の項が入っていますので、公式を使って１次の項に変形します。これもまた一気に計算するのは大変ですから、下記のように分けて計算します。 第1項：ｋ3Ａ13cos3ω1t 第2項：3ｋ3Ａ12Ａ2cos2ω1tcosω2t 第3項：3ｋ3Ａ1Ａ22cosω1tcos2ω2t 第4項：ｋ3Ａ23cos3ω2t 第1項と第4項の計算には(公式3)を使います。 第1項＝ｋ3Ａ13cos3ω1t＝(Ａ13/2){(1/2)(cos3ω1t＋cosω1t)＋cosω1t} ＝(ｋ3/4)Ａ13cos3ω1t＋(3ｋ3/4)Ａ13cosω1t …(14) 第4項＝ｋ3Ａ23cos3ω2t＝(Ａ23/2){(1/2)(cos3ω2t＋cosω2t)＋cosω2t} ＝(ｋ3/4)Ａ23cos3ω2t＋(3ｋ3/4)Ａ23cosω2t …(17) また、第2項と第3項の計算にも(公式3)を使います。つまり、 第2項＝3ｋ3Ａ12Ａ2cos2ω1tcosω2t ＝(3/2)ｋ3Ａ12Ａ2(cos2ω1t＋1)cosω2t ＝(3/2)ｋ3Ａ12Ａ2(cos2ω1tcosω2t＋cosω2t) ＝(3/2)ｋ3Ａ12Ａ2[(1/2){cos(2ω1＋ω2)t＋cos(2ω1−ω2)t}＋cosω2t] ＝(3/4)ｋ3Ａ12Ａ2cos(2ω1＋ω2)t＋(3/4)ｋ3Ａ12Ａ2cos(2ω1−ω2)t ＋(3/2)ｋ3Ａ12Ａ2cosω2t …(15) 第3項＝3ｋ3Ａ1Ａ22cosω1tcos2ω2t ＝(3/2)ｋ3Ａ1Ａ22(cos2ω2t＋1)cosω1t ＝(3/2)ｋ3Ａ1Ａ22(cos2ω2tcosω1t＋cosω1t) ＝(3/2)ｋ3Ａ1Ａ22[(1/2){cos(ω1＋2ω2)t＋cos(ω1−2ω2)t}＋cosω1t] ＝(3/4)ｋ3Ａ1Ａ22cos(ω1＋2ω2)t＋(3/4)ｋ3Ａ1Ａ22cos(ω1−2ω2)t ＋(3/2)ｋ3Ａ1Ａ22cosω1t …(16) やっと計算が終わりです。結局、第1項から4項までを足してｅo3を求めると、 ｅo3＝(3/4)ｋ3Ａ12Ａ2cos(2ω1−ω2)t＋(3/4)ｋ3Ａ1Ａ22cos(ω1−2ω2)t ＋(3ｋ3/4)Ａ13cosω1t＋(3/2)ｋ3Ａ1Ａ22cosω1t ＋(3ｋ3/4)Ａ23cosω2t＋(3/2)ｋ3Ａ12Ａ2cosω2t ＋(ｋ3/4)Ａ13cos3ω1t＋(3/4)ｋ3Ａ12Ａ2cos(2ω1＋ω2)t ＋(3/4)ｋ3Ａ1Ａ22cos(ω1＋2ω2)t＋(ｋ3/4)Ａ23cos3ω2t …(18) 非常に数が多いので、各々の分析は、他の次数の項と合わせて整理してから行ないます。ただ、直流や非常に周波数の低い項、送信周波数の２倍近辺の周波数成分がないことは、注意しておきます。 ［３］全ての信号成分を周波数順に並べてみると何が分かるか？(5)式,(13)式,(17)式の全てを加算すれば、３次までの全ての信号成分が直流又はcosωtの形で書けますが、あまりにも数が多いので、表に整理します。我々は、普通、この手の議論をする時に周波数成分で議論したいので、これを周波数順に整理してみます。ここで、希望波ｅ1の周波数をｆ1（ω1＝2πｆ1）、混入波ｅ2の周波数をｆ2（ω2＝2πｆ2）とし、ｆ1＜ｆ2と仮定し、周波数が低い順に並べてみます。（(9)式や(16)式で、ω1−ω2やω1−2ω2という「負の周波数」が出てきますが、スペアナ等で信号として観測されるのは絶対値の周波数ですから、表の中では絶対値に直しています。）
ここで着目するのは、相互変調積です。相互変調積は上記の周波数成分のうち、角周波数が太字で書かれたもののみ（直流や、ｅ1,ｅ2の基本波と高調波は相互変調積ではない）です。２次の項は|ω1±ω2|の２つ、３次の項は、|2ω1±ω2|と|2ω2±ω1|の４つありますが、そのうち問題となるのは上の表で濃いピンク色の欄の２つ（2ω1−ω2と2ω2−ω1）です。 ［４］問題となる相互変調積とその性質 | |||||||||||||||||||||||||||||
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何故、この周波数が問題になるかと言えば、フィルタ等で除去しづらいからです。 例えば、ｆ1＝1,000 [kHz], ｆ2＝1,010 [kHz]とします。この時、ピンク色の欄に示した項の周波数は、2ｆ1−ｆ2が990 [kHz]、2ｆ2−ｆ1が1,020 [kHz]と、送信波に非常に近く、シャープなフィルタでなければ除去できません。スペクトルで描くと、Fig.HF0707_bの右下のように、送信波・混入波の両側に等間隔で現れます。 これは、混入波の周波数が希望波の送信周波数に近ければ近いほど、顕著になります。 |
 Fig.HF0707_b ひずみと相互変調積のスペクトル |
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これに対して、それ以外の周波数成分（基本波を除く）は、直流であったり、２倍・３倍の周波数のオーダーなので、一般的にフィルタで十分な減衰量を確保することは容易です。 また、これらの周波数成分（2ｆ1−ｆ2, 2ｆ2−ｆ1）について、電力（振幅）を見ておきます。これらの信号は、Ａ12Ａ2又はＡ1Ａ22に比例していますから、Ａ1とＡ2両方をn [dB]減衰させたとすると、相互変調積の成分は3n [dB]減衰します。ただ、普通は混入波の方は減衰させても、希望波は減衰させたくないことの方が多いです。ｅ1（Ａ1）は減衰させず、ｅ2（Ａ2）の方だけをn [dB]減衰させたとすると、相互変調積の成分周波数によって減衰量が異なり、2ｆ1−ｆ2の方はn [dB]の減衰、2ｆ2−ｆ1の方は2n [dB]減衰する計算になります。 これまで得られた、２周波が入力された非線形回路による、（３次までのひずみ）出力の特性をまとめると、以下のようになります。
また、トランシーバに、例えば10 [dB]のアッテネータスイッチが付いているとします。これをONにすることで希望波は10 [dB]減衰してしまいますが、３次の混変調積の成分は30 [dB]落とすことができるので、差し引き20 [dB]の改善になる、というわけです。 それでは、解答に移ります。 ｆ1＝438.52 [MHz]、ｆ2＝439.36 [MHz]とした時に、以下の３次の相互変調積の成分をそれぞれ計算すれば、 2ｆ1−ｆ2＝437.68 [MHz] 2ｆ2−ｆ1＝440.20 [MHz] となりますから、正解は2ｆ1−ｆ2の場合で、３と分かります。 | |||||||||||||||||||||||||||||
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